MATEMÁTICA Grandezas Diretamente Proporcionais , Números Diretamente Proporcionais e Números Inversamente Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

Botando-se embaixo de uma torneira completamente aberta, um balde para encher, quanto mais tempo a torneira permanecer aberta, quanto mais água o balde irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no balde são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no balde.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui.

Vamos analisar a tabela abaixo que representa os primeiros dez segundos do balde sob a torneira completamente aberta:

Tempo em segundos	Volume de água no balde em litros
1	0,14
2	0,28
3	0,42
4	0,56
5	0,70
6	0,84
7	0,98
8	1,12
9	1,26
10	1,40

Conceitualmente a razão de dois valores quaisquer da primeira coluna é igual a razão dos respectivos valores da segunda coluna, assim temos:

Cada uma das igualdades acima são exemplos de uma proporção. Estas proporções são formadas pela igualdade de duas razões. A primeira é a razão de dois valores da primeira grandeza e a segunda é a razão dos respectivos valores da segunda grandeza.

Exemplos Envolvendo Grandezas e Números Diretamente Proporcionais

Se o balde da situação acima tiver uma capacidade de 7,98 litros, estando o mesmo vazio, quantos segundos serão necessários para enchê-lo completamente?

Podemos escolher qualquer uma das linhas da tabela acima, para juntamente com o 7,98 corresponde à capacidade do balde, montarmos uma proporção.
Vamos chamar de t o tempo que estamos procurando e por comodidade nos cálculos, vamos escolher a primeira linha da tabela para montarmos a proporção abaixo:

Observe que esta proporção segue os mesmos padrões das quatro proporções citadas mais acima. A primeira razão é formada por dois valores da primeira coluna e a segunda razão, pelos dois respectivos valores da segunda coluna, só que neste caso a linha do consequente (denominador) não têm os seus dados visíveis na tabela, pois paramos a tabela na décima linha.
Vamos encontrar o valor de t recorrendo à propriedade da quarta proporcional que estudamos no tópico proporção:

Serão necessários 57 segundos para se encher o balde completamente.

Os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números x, y, z e 275. Quais os valores de x, y e z?

A partir dos dados do enunciado podemos escrever a seguinte proporção:

O valor da variável x pode ser obtido da seguinte forma:

De forma análoga obtemos o valor da variável y:

E por fim o valor da variável z:

Podemos então dizer que os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números 165, 187, 231 e 275, pois a divisão de qualquer um dos números do primeiro grupo, pelo respectivo número do segundo grupo é sempre igual a ¹/₁₁, ou seja, também podemos obter o valor de x, y ou z simplesmente se dividindo 15, 17 ou 21 por ¹/₁₁.
¹/₁₁ é o resultado da simplificação da única razão que não possui incógnitas, ²⁵/₂₇₅, por 25.

165, 187 e 231 são os respectivos valores de x, y e z.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Na situação de estudo que tivemos acima, vimos que o referido balde leva 57 segundos para ser completamente cheio, quando o mesmo está totalmente vazio e a torneira completamente aberta, mas o que aconteceria se tivéssemos diversas torneiras com vazão idêntica?
Vejamos mais esta outra tabela:

Quantidade de torneiras completamente abertas	Tempo em segundos para se encher o balde
1	57
2	28,5
3	19
4	14,25
5	11,4

Você deve ter percebido o óbvio. Quanto mais torneiras se têm, mais rapidamente se enche o balde.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra aumenta.
Vejamos as seguintes proporções obtidas a partir da tabela acima:

Cada uma destas proporções é formada pela igualdade da razão de dois valores da primeira grandeza com o inverso da razão dos respectivos valores da segunda grandeza. Repare que os termos da segunda razão estão invertidos em relação aos termos da primeira.

Exemplos Envolvendo Grandezas e Números Inversamente Proporcionais

Estando o balde vazio, em quantos segundos conseguiremos enchê-lo completamente utilizando-nos de 6 torneiras?

Como no exemplo anterior, podemos escolher qualquer uma das linhas da tabela acima e para variar vamos escolher a terceira linha juntamente com o 6, das seis torneiras, para montarmos a proporção.
Novamente iremos chamar de t o tempo que estamos procurando. A proporção será então:

Note que temos ^t/₁₉ no segundo membro, que é o inverso da razão ¹⁹/_t.
Novamente recorrendo à propriedade da quarta proporcional vamos encontrar o valor de t:

Serão necessários 9,5 segundos para se enchê-lo completamente.

Os números a, 3 e 4 são respectivamente inversamente proporcionais aos números 12, 8 e b. Quais os valores de a e b?

Com os dados do problema montamos a proporção abaixo:

Repare que o antecedente de cada razão (numerador da fração) é um valor do primeiro conjunto. Repare principalmente que o consequente de cada razão (denominador da fração) é o inverso do respectivo valor do segundo conjunto, isto porque eles são inversamente proporcionais.
Continuando:

Agora facilmente podemos obter o valor de a:

E também o valor de b:

Então os números 2, 3 e 4 são respectivamente inversamente proporcionais aos números 12, 8 e 6. Observe que multiplicando um número do primeiro conjunto de números, pelo respectivo número do outro conjunto, o resultado sempre será 24, pois os números são inversamente proporcionais. Então se dividirmos 24 por um número do consequente iremos obter o respectivo número do antecedente e se dividirmos 24 por um número do antecedente iremos obter o respectivo número do consequente.
Note que neste exemplo se multiplicarmos o segundo elemento de cada conjunto iremos obter o número 24 ao qual nos referimos no parágrafo anterior e pelo explicado neste mesmo parágrafo, de uma forma alternativa podemos obter o valor de a e o valor de b. O segundo elemento foi escolhido porque ele não possui variáveis, somente números.

O valor de a é 2 e o valor de b é 6.

Fontes:

https://www.blogger.com/blogger.g?blogID

 http://www.matematicadidatica.com.br/