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sexta-feira, 11 de agosto de 2017

Matemática,conteúdos para o ENEM O que é Geometria e o Teorema de Pitágoras.



O que é Geometria e o Teorema de Pitágoras.


Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra) e "métron" (medir), cujo significado em geral é designar propriedades relacionadas com a posição e forma de objetos no espaço.
A Geometria é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas com forma, tamanho, posição relativa entre figuras ou propriedades do espaço, dividindo-se em várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus problemas.
Este segmento da matemática aborda as leis das figuras e as relações das medidas das superfícies e sólidos geométricos. São utilizadas relações de medidas como as amplitudes de ângulos, volumes de sólidos, comprimentos de linhas e áreas das superfícies.
Existem vários tipos de geometria, como a geometria descritiva, que estuda a representação de objetos espaciais em um plano, e a geometria plana, uma geometria do âmbito bidimensional, pois é definida sobre um plano. A geometria das figuras planas é também conhecida como planimetria, enquanto a dos sólidos geométricos é conhecida como estereometria.
  Acredita-se que a Geometria nasceu em diferentes lugares a partir do século VII a.C. Na Antiguidade, o estudo foi muito útil para resolver problemas de Astronomia. Por exemplo: saber a posição das estrelas pode ser utilizado para identificar a sua localização na Terra.
Tipos de Geometria
1. Geometria plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos).
eometria espacial
A geometria espacial é definida em um espaço com três dimensões e por isso tem como objetivo estudar figuras tridimensionais. Assim, através da geometria espacial é possível calcular o volume de um sólido.
A geometria analítica é um ramo da matemática que utiliza processos de álgebra e de análise matemática e que faz uma investigação em relação às figuras geométricas, como curvas e superfícies, sendo que elas são representadas por equações. Uma reta, por exemplo, pode ser representada por uma equação linear de duas variáveis. Um dos primeiros estudiosos da geometria analítica foi Descartes.
A geometria euclidiana (clássica) dedica-se ao estudo do plano ou do espaço baseado nos postulados de Euclides de Alexandria:
1.    dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une;
2.    um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
3.    dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4.    todos os ângulos retos são iguais;
5.    se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
O quinto postulado foi o mais polêmico ao longo da história e equivale ao axioma das paralelas: por um ponto exterior a uma reta passa apenas uma outra reta paralela à dada.
Lobachevsky e Riemann (entre outros) propuseram alternativas ao quinto postulado. Lobachevsky postulando que por um ponto exterior a uma reta passam pelo menos duas retas paralelas, Riemann postulando que por um ponto exterior a uma reta não passa nenhuma reta paralela.
Da alternativa de Lobachevsky nasceu a geometria Hiperbólica, da alternativa de Riemann nasceu a Geometria Elíptica ou Esférica.


TEOREMA DE PITÀGORAS

O Teorema de Pitágoras aplicado no Estudo da Trigonometria
Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).
a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a2 = b2 + c2

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).

Diagonal do quadrado.

O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.

O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:



Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.
Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:
Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por: 

d = l √2 


Altura do triângulo equilátero 

Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.
Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.
Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC. 

A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.


Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:


Fontes: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/
https://pt.khanacademy.org/math/enem/conhecimentos-geometricos/
 Fonte: https://www.significados.com.br/geometria/

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